Martin Graiciar začal s fotbalem v rodných Karlových Varech již ve čtyřech letech, a když mu bylo deset, odešel nejprve do pražské Sparty (2009-11) a později do mládežnické akademie Viktorie Plzeň (2011-17). Jeden rok strávil na stáži v londýnském Arsenalu (2015-16). V jarní sezóně 2017 nastoupil v dresu FC Slovan Liberec k šesti ligovým a jednomu pohárovému utkání. V létě 2017 přestoupil do italské Fiorentiny, ale nadále hrál za FC Slovan Liberec jako hostující hráč.

Přestože v oficiálních dokumentech UEFA byl v ročníku 2018-19 vedený mezi padesáti největšími fotbalovými talenty, do dospělého áčka AFC Fiorentina se neprosadil a v létě 2019 zamířil na roční hostování do pražské Sparty, s níž získal český pohár (MOL Cup) na konci ročníku 2019-20. V českém reprezentačním dresu má celkem čtrnáct startů se sedmi vstřelenými góly ve čtyřech věkových kategoriích (dva zápasy a jeden gól za U16, tři zápasy a čtyři góly za U17, sedm zápasů a dva góly za U19 a dva zápasy bez skórování za U21).